Πανεπιστημιο Κρητης
Τμημα Επιστημης και Τεχνολογιας Υλικων

Τρόπος βαθμολογίας

H ύλη του μαθήματος και ο τρόπος βαθμολογίας θα είναι σχεδόν ίδια με πέρσι. Δείτε την σύντομη περιγραφή της ύλης, της βιβλιογραφίας και του τρόπου εξέτασης. Οι διαφορές είναι ότι (α) δεν υπάρχουν ασκήσεις για το σπίτι και (β) φέτος μετράνε στον βαθμό και τα 5 διαγωνίσματα και δεν επιτρέπονται απουσίες εκτός από πάρα πολύ σοβαρό λόγο. Αν ένας από τους 5 βαθμούς είναι πολύ μεγαλύτερος ή πολύ μικρότερος από τους άλλους 4 δεν θα μετρήσει στον μέσο όρο. Οι ημερομηνίες διαγωνισμάτων είναι:

• 19/10/2012
• 2/11/2012
• 16/11/2012
• 7/12/2012
• 21/12/2012

Να επισκέπτεστε συχνά την σελίδα, οι ημερομηνίες ίσως αλλάξουν αν υπάρξει κάποιο έκτακτο γεγονός.

Τι είναι η ΦΣΚ; Η απλή θεωρία της γραμμικής απόκρισης.

Αν σε κάποιο υλικό επιδράσουμε με κάποιο πεδίο, το υλικό είτε θα μεταβάλλει κάποια ιδιότητά του είτε θα εμφανίσει μια νέα ιδιότητα που δεν την είχε απουσία του πεδίου. Παράδειγματα: (1) Ζεσταίνω ένα υλικό (αλλάζω τη θερμοκρασία του κατά ΔΤ) και αλλάζει ο όγκος του κατά ΔV. (2) Τοποθετώ μια ηλεκτρική τάση, V στα άκρα του υλικού και αυτό διαρέεται από ρεύμα, I. Οι αλλαγή της ιδιότητας του υλικού ή η νέα ιδιότητα που εμφανίστηκε (ΔV, I) λέγεται απόκριση.

Αν το εξωτερικό πεδίο είναι ασθενές, η απόκριση είναι ανάλογη του αιτίου που την προκάλεσε. Αυτό λέγεται θεωρία της γραμμικής απόκρισης. Η σταθερά αναλογίας είναι συνήθως ανάλογη του μεγέθους (μάζα ή όγκο ή μήκος κλπ) του υλικού και ανάλογη μιας εντατικής ιδιότητας του υλικού. Η τελευταία λέγεται συνάρτηση απόκρισης. Στα παραπάνω παραδείγματα πχ ισχύουν ο νόμος της διαστολής, ΔV=αVΔΤ, όπου α ο συντελεστής διαστολής και ο νόμος του Ohm, Ι=V/R=σ(A/L)V όπου σ η αγωγιμότητα του υλικού. Τα α και σ είναι δυο μόνο από τις πάμπολλες συναρτήσεις απόκρισης ενός υλικού.

Σκοπός της ΦΣΚ είναι να προσδιορίσει τις συναρτήσεις απόκρισης και να προτείνει τρόπους πειραματικού προσδιορισμού τους ή θεωρητικού υπολογισμού τους. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τη ΦΣΚ έχει η ενοποίηση διαφορετικών φαινομένων η οποία εκφράζεται μέσω σχέσεων που συνδέουν διαφορετικές συναρτήσεις απόκρισης. Για παράδειγμα, η σχέση του Grüneisen συνδέει τον συντελεστή διαστολής με την θερμοχωρητικότητα και το υδροστατικό μέτρο ελαστικότητας.

Σε αυτό το μάθημα θα γνωρίσουμε αντιπροσωπευτικές συναρτήσεις απόκρισης σε μηχανικά, θερμικά, ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία και θα προσδιορίσουμε τις τιμές τους και τις θεωρητικές σχέσεις μεταξύ τους με δυο απλά μοντέλα. Σε πολλές περιπτώσεις θα συζητήσουμε και πειραματικές τεχνικές.

Η μέθοδος της διαστατικής ανάλυσης

• Οι διαστάσεις (μονάδες) ενός φυσικού μεγέθους γράφονται με μοναδικό τρόπο σαν συνάρτηση των θεμελιωδών διαστάσεων. Στο σύστημα SI, αυτές είναι πέντε: το μήκος (L), η μάζα (Μ), o χρόνος (T), το ηλεκτρικό φορτίο (Q) και η θερμοκρασία (T).
• Διαστατικά ανεξάρτητα μεγέθη είναι εκείνα των οποίων οι μονάδες δεν συνδέονται. Πχ η ενέργεια, ταχύτητα και μάζα δεν είναι ανεξάρτητα, αφού οι μονάδες [Ε]=[m][u]² (πχ στο SI J=kg (m/s)²). Αντίθετα, τα μεγέθη ενέργεια, ταχύτητα και μήκος είναι διαστατικά ανεξάρτητα.
• Θεώρημα: Από διαστατικά ανεξάρτητα φυσικά μεγέθη υπάρχει ένας και μόνο συνδυασμός που έχει δεδομένες μονάδες.
• Δείτε το άρθρο της wikipedia και τη σελ. 15 του βιβλίου "Κβαντομηχανική Ι" του Σ. Τραχανά.

Περιοδικότητα και κρυσταλλική δομή

H δομή των κρυσταλλικών στερεών καλύπτεται στο κεφ. 13 του βιβλίου του Ε. Ν. Οικονόμου. Χάρη στην ευγενική προσφορά των ΠΕΚ, μπορείτε να το πάρετε σε pdf από εδώ.

Περιοδικές συναρτήσεις σε 1D και 3D. Πλέγματα Bravais, Θεμελιώδης κυψελίδα και όγκος της. Κρυσταλλική δομή=πλέγμα και βάση. Εφαρμογή: η δομή hcp (διανύσματα πλέγματος, θέσεις ατόμων βάσης, μήκη και γωνίες δεσμών, αριθμός σύνταξης). Η ιδανική δομή hcp. Ιδιότητες που καθορίζουν πόσο πυκνό είναι ένα στερεό: ρ_M, n_i, V_i, r_i, d. Υπολογισμός τους για hcp. Αριθμητικές τιμές για Re και Τi.

Έκτακτο μάθημα (αναπήρωση για την 5/10 που δεν έγινε) τη Δευτέρα 15/10, στο Α3 Χημικού, στις 9-12.

Κρυσταλλική δομή και βάση. Μελέτη της δομής fcc (z, ρ_M, n_i, V_i, r_i, d) και εφαρμογή στον Cu.

Θεώρημα Bloch. Αντίστροφο πλέγμα και ιδιότητές του. Εφαρμογές σε sc, fcc, 1D.

Ανακοίνωση: το πρώτο διαγώνισμα στις 19/10/12.

Κατηγορίες στερεών και είδη δεσμών (ανάλογα με το είδος των ηλεκτρονίων σθένους των ατόμων τους). Δείτε το βιβλίο του Ε. Καξίρα.

(Κεφ. 2) Ιδιότητες που καθορίζουν πόσο πυκνό είναι ένα στερεό: ρ_M, n_i, V_i, r_i, n, V_e, r_s, d κλπ. Τρόποι υπολογισμού του καθενός από καθένα από τα άλλα. Το μοντέλο ισότροπου στερεού ή μοντέλο Jellium.

(Κεφ. 2) Το μοντέλο ισότροπου στερεού ή μοντέλο Jellium. Ελάχιστο της ενέργειας. Πίεση. Το μέτρο ελαστικότητας. (Κεφ. 2) Το μέτρο ελαστικότητας στο ομοιογενές στερεό.

Άσκηση: Στερεό συμπιέζεται με πίεση P και η πυκνότητά του αλλάξει κατά x=Δρ/ρ. Δείξτε ότι από τον ορισμό του Β ισχύει P=Bx και ότι από το μοντέλο Jellium P=3B((1+x)^5/3-(1+x)^4/3). Δείξτε ότι οι δυο σχέσεις συμπίπτουν για x<<1. Υπολογίστε την πυκνότητα του Fe και του Au στο κέντρο της γης (P=3.7Mbar).

(Κεφ. 3) Η κυματοσυνάρτηση ηλεκτρονίων στο μοντέλο Jellium. Επιτρεπτές τιμές του κυματανύσματος και του κυματάριθμου. Υπολογισμός του κυματάριθμου και της ενέργειας Fermi. Μέση κινητική ενέργεια ηλεκτρονίων, υπολογισμός της παραμέτρου α του μοντέλου Jellium.

Η έννοια της πυκνότητας κατασάσεων. Υπολογισμός της πυκνότητας καταστάσεων ηλεκτρονίων για το μοντέλο Jellium. Ο γενικός τύπος για την πυκνότητα καταστάσεων: ρ(Ε)~E^((d/ν)-1) όπου d η διάσταση του χώρου και ν o εκθέτης του k στη σχέση Ε=f(k). Η συνθήκη κανονικοποίησης: το ολοκλήρωμα της ρ(Ε) μέχρι την ενέργεια Fermi ισούται με N/2. Εφαρμογές: πυκνότητα καταστάσεων σαν συνάρτηση των E, E_F σε 1, 2 και 3Δ. Υπολοισμός του k_F σε 2 και 3Δ. Πυκνότητες καταστάσεων πραγματικών υλικών. Η μέση κινητική ενέργεια ισούται με τα 3/5 της ενέργειας Fermi. (Κεφ. 4) Ιδιοταλαντώσεις σε στερεά. Υπολογισμός του κυματάριθμου Debye.

Την Παρασκευή 16/11 είναι το 3ο διαγώνισμα. Δεν θα γίνει μάθημα μετά το διαγώνισμα. Θα γίνει μια ώρα μάθημα θεωρίας την Δευτέρα 19/11 στις 4 και μετά θα γίνει μάθημα ασκήσεων στις 5.

(Κεφ 5) Υπολογισμός της θερμοχωρητικότητας λόγω ηλεκτρονίων και λόγω φωνονίων από τις πυκνότητες καταστάσεων. Θερμοχωρητικότητα λόγω ηλεκτρονίων και πυκνότητες καταστάσεων πραγματικών υλικών. Θερμοχωρητικότητα λόγω φωνονίων, ο γενικός τύπος και οριακές τιμές για χαμηλές και ψηλές θερμοκρασίες. Ο νόμος Dulong-Petit, προσδιορισμός ατομικού βάρους από την θερμοχωρητικότητα.

Πέρα από την προσέγγιση του ομοιογενούς στερεού

Τρόποι ταλάντωσης και ηλεκτρονιακές καταστάσεις

Σε πραγματικά υλικά υπάρχουν οξείες κορυφές στην πυκνότητα καταστάσεων τόσο των ηλεκτρονίων όσο και των φωνονίων, οι οποίες δεν προβλέπονται από τα μοντέλλα ομοιογενών υλικών (Jellium και Debye). Αυτές αντιστοιχούν κυρίως (α) σε ηλεκτρόνια p, d και f, τα οποία δεν έχουν ομοιόμορφη κατανομή πιθανότητας, αλλά έχουν μεγάλο εντοπισμό σε συγκεκριμένες περιοχές και (β) σε τοπικές ταλαντώσεις οι οποίες δεν έχουν κυματική συμπεριφορά. Γενικά οι ταλαντώσεις σε ένα υλικό χαρακτηρίζονται ως TA, LA, TO και LO ανάλογα με την πόλωση (Longitudal/transverse) και την συμεριφορά της συχνότητας για μικρό q (acoustic όταν το ω είναι ανάλογο του q και optical όταν το ω είναι σταθερό). Δείτε πχ εδώ. Οι οπτικές ταλαντώσεις δίνουν ψηλές κορυφές στην πυκνότητα καταστάσεων, καθώς υπάρχουν πολλές καταστάσεις με παραπλήσιες συχνότητες.

Αν ξέρω την πυκνότητα καταστάσεων ενεργειών και θέλω να βρω την πυκνότητα καταστάσεων συχνοτήτων, χρησιμοποιώ την σχέση φ(ε)dε=φ(ω)dω. Στα πειράματα συνήθως μετράται η πυκνότητα καταστάσεων ανά άτομο ή ανα mol ή ανά μονάδα όγκου.

Το μοντέλο Einstein.

Υπολογισμός πυκνότητας καταστάσεων και θερμοχωρητικότητας για χαμηλή και ψηλή θερμοκρασία σε σύστημα μη αλληλεπιδρώντων ταλαντωτών συχνότητας ω₀.

(Κεφ. 1.8) Ιδιοταλαντώσεις και πυκνότητα ταλαντωτικών καταστάσεων σε περιοδικό μονοδιάστατο σύστημα. Σύγκριση με μοντέλο Debye.

(Κεφ. 9.1, 10.2 και κεφ. 14 από "Κβαντομηχανική I" του Σ. Τραχανά) Μελέτη με LCAO απλού μονοδιάστατου στερεού. Οι παράμετροι ε και V₂, πρόσημο και απλές εκτιμήσεις. Ενεργειακές ζώνες και ενεργός μάζα. Διάκριση μεταξύ μετάλλων και μονωτών. Πυκνότητα καταστάσεων, σύγκριση LCAO και μοντέλου Jellium.

4o διαγώνισμα.

Επανάληψη βασικών σχέσεων ηλεκτρομαγνητισμού: εξισώσεις Maxwell, ηλεκτρομαγνητικά κύματα, αρμονικά ηλεκτρικά πεδία σε υλικά.

(Κεφ. 6) Ηλεκτρομαγνητικά πεδία στην ύλη. Οι βασικές ηλεκτροστατικές, ηλεκτρονικές και οπτικές ιδιότητες (διηλεκτρική σταθερά, αγωγιμότητα, δείκτης διάθλασης) και πώς αυτές σχετίζονται: ε=ε₀+iσ/ω, n+iκ=√(ε/ε0). Η διηλεκτρική συνάρτηση ε(k) για ω→0 και το φαινόμενο της θωράκισης. Ο τύπος του Drude για την αγωγιμότητα. Χρόνος αποκατάστασης και μέση ελεύθερη διαδρομή. Διηλεκτρική συνάρτηση στο μοντέλο ελευθέρων ηλεκτρονίων. Υπολογισμός της διηλεκτρικής συνάρτησης ε(ω) για μεγάλα μήκη κύματος (k→0). Διαφάνεια μετάλλων στο υπεριώδες.

Διηλεκτρική συνάρτηση και προσεγγίσεις (ο λόγος ω/k σε σύγκριση με την ταχύτητα των σωματιδίων). Υπολογισμός του μήκους θωράκισης. Τάξεις μεγέθους και τυπικές τιμές των ω_p, ω_pi, l_c σε μέταλλα. Ταλαντώσεις πλάσματος και εφαρμογές (πλασμονικά υλικά, φασματοσκοπία EELS).

(Κεφ. 7) Απλά μέταλλα σε μαγνητικό πεδίο. Ο πίνακας της ειδικής αντίστασης σε ομοιογενές υλικό. Φαινόμενο Hall. Υπολογισμός του συντελεστή Hall σε ομογενές στερεό.

Αποτελέσματα διαγωνισμάτων 1 - 4. Μπορείτε να δείτε τα γραπτά σας την Πέμπτη 20/12 και ώρες 11-1.

Υπενθύμιση: διαγώνισμα 5 την Παρασκευή 21/12 στις 9-10.

Οδηγίες τελικής εξέτασης: Στην τελική εξέταση (αλλά όχι το Σεπτέμβριο) επιτρέπεται η χρήση μιας (1) σελίδας σημειώσεων μεγέθους Α4 και γραμμένης μόνο από τη μια πλευρά. Οι σημειώσεις παραδίδονται και βαθμολογούνται με άριστα 0.5 μονάδα. Είναι απαραίτητο να έχετε μαζί σας αποδεικτικό ταυτότητας και απλό κομπιουτεράκι. Δεν επιτρέπονται κινητά ή οποιοδήποτε είδος υπολογιστή τσέπης. Δεν επιτρέπεται να πάρετε κομπιουτεράκι από άλλον/άλλη κατά τη διάρκεια της εξέτασης.

5ο διαγώνισμα.

Αποτελέσματα διαγωνισμάτων. Όσοι είχαν έναν βαθμό αισθητά χειρότερο από τους άλλους, βαθμολογήθηκαν με βάση τα 4 καλύτερα διαγωνίσματα (για την ακρίβεια εξετάστηκε αν κάποιος βαθμός ήταν μικρότερος από τον μέσο όρο μείον την τυπική απόκλιση, στήλη Κ του πίνακα). Τα 2/3 αυτών που έδωσαν και τα 5 διαγωνίσματα πέρασαν! Μπράβο στους επιτυχόντες, καλή επιτυχία στους υπόλοιπους το Γενάρη. Όσοι πέρασαν, μπορούν να έρθουν το Γενάρη αν θέλουν να προσπαθήσουν για καλύτερο βαθμό.

Τελική εξέταση: Θέματα, λύσεις Θεμάτων και αποτελέσματα.

Συγχαρητήρια στους επιτυχόντες!