Πανεπιστημιο Κρητης
Τμημα Επιστημης και Τεχνολογιας Υλικων

Εκτιμήσεις τάξης μεγέθους

• Εμπειρικά: Με βάση την εμπειρία μας, ξέρουμε τι τιμές να περιμένουμε για διάφορες ποσότητες. Πχ. ξέρουμε ότι τα συνήθη υλικά έχουν πυκνότητες στην περιοχή από 0.2 g/cc (φελός) έως 23 g/cc (Όσμιο).
• Ημιεμπειρικά: Χρησιμοποιούμε κάποια απλά αποτελέσματα από την εμπειρία μας, και κάποιους τύπους για να καταλήξουμε στο ζητούμενο αποτέλεσμα. πχ. ακόμα κι αν δεν θυμόμαστε νούμερα για πυκνότητες, ξέρουμε ότι τα ατομικά βάρη των στοιχείων είναι περίπου A=10 έως 100 gr/mol, και οι αποστάσεις μεταξύ τους είναι d = 1 έως 3 Å. Άρα μια τυπική τιμή της πυκνότητας ενός μετάλλου θα είναι m/V=(Α/Ν_A)/(4/3π(d/2)³) δηλ. γύρω στα 10 g/cc.
• Από πρώτες αρχές: Χρησιμοποιούμε μόνο θεμελιώδεις φυσικούς νόμους (πχ εξίσωση Schrodinger, νόμοι θερμοδυναμικής) και θεμελιώδεις φυσικές σταθερές. Για το παράδειγμα της πυκνότητας, χρειαζόμαστε μια εκτίμηση της μάζας του πυρήνα και του μεγέθους του ατόμου.
  • Η μάζα του πυρήνα μπορεί να εκτιμηθεί αν σκεφτούμε ότι τα νετρόνια και πρωτόνια του πυρήνα έλκονται με ισχυρές πυρηνικές δυνάμεις, οι οποίες είναι δυνάμεις επαφής. Άρα στον πιο σταθερό πυρήνα όλα τα νουκλεόνια θα πρέπει να είναι γειτονικά. Η πιο σταθερή τέτοια διάταξη αποτελείται από μια σφαίρα και 12 όμοιες σφαίρες γύρω της, άρα συνολική μάζα 13m_p. Στην πραγματικότητα οι αλληλεπιδράσεις είναι κάπως πιο περίπλοκες, και ο πιο σταθερός πυρήνας είναι ο Fe με 56 νουκλεόνια, αλλά όπως βλέπετε δεν πέσαμε και πολύ έξω! Άρα εκτιμούμε ότι μια τυπική μάζα ατόμου 10m_p.
  • H ακτίνα του ατόμου θα προκύψει από την κυματοσυνάρτηση των ηλεκτρονίων του, η οποία θα προκύψει ως λύση της εξίσωσης Schrodinger. Επομένως η ακτίνα θα εξαρτάται από τις ποσότητες h, m, e, ε₀. Με διαστατική ανάλυση βρίσκουμε ότι η τυπική τιμή της ακτίνας είναι h²ε₀/me², περίπου 1 Å.
  • Συνδυάζοντας τα παραπάνω, βρίσκουμε ότι η τάξη μεγέθους της πυκνότητας ενός μετάλλου είναι 10 g/cc.

Η μέθοδος της διαστατικής ανάλυσης

• Οι διαστάσεις (μονάδες) ενός φυσικού μεγέθους γράφονται με μοναδικό τρόπο σαν συνάρτηση των θεμελιωδών διαστάσεων. Στο σύστημα SI, αυτές είναι πέντε: το μήκος (L), η μάζα (Μ), o χρόνος (T), το ηλεκτρικό φορτίο (Q) και η θερμοκρασία (T).
• Διαστατικά ανεξάρτητα μεγέθη είναι εκείνα των οποίων οι μονάδες δεν συνδέονται. Πχ η ενέργεια, ταχύτητα και μάζα δεν είναι ανεξάρτητα, αφού οι μονάδες [Ε]=[m][u]² (πχ στο SI J=kg (m/s)²). Αντίθετα, τα μεγέθη ενέργεια, ταχύτητα και μήκος είναι διαστατικά ανεξάρτητα.
• Θεώρημα: Από διαστατικά ανεξάρτητα φυσικά μεγέθη υπάρχει ένας και μόνο συνδυασμός που έχει δεδομένες μονάδες.
• Δείτε το άρθρο της wikipedia και τη σελ. 15 του βιβλίου "Κβαντομηχανική Ι" του Σ. Τραχανά.

Τα κβαντικά σωματίδια: Φερμιόνια και μποζόνια

Τα στοιχειώδη σωμάτια χωρίζονται σε δυο μεγάλες κατηγορίες, τα φερμιόνια και τα μποζόνια. Τα φερμιόνια έχουν ημιακέραιο σπιν (1/2, 3/2 κτλ). Φερμιόνια είναι τα σωματίδια που φτιάχνουν την ύλη, όπως πχ το ηλεκτρόνιο, το πρωτόνιο και το νετρόνιο. Τα μποζόνια έχουν ακέραιο σπιν (0, 1, 2 κτλ). Μποζόνια είναι τα στοιχειώδη σωματίδια που αντιστοιχούν σε αλληλεπιδράσεις, όπως το φωτόνιο (φως και γενικότερα ηλεκτρομαγνητικά κύματα), το φωνόνιο (ελαστικές παραμορφώσεις), το βαρυτόνιο (βαρύτητα) και άλλα. Ένα σύνθετο, μη στοιχειώδες σωμάτιο, όπως πχ ένα άτομο που αποτελείται από πολλά ηλεκτρόνια, πρωτόνια και νετρόνια, μπορεί να είναι μποζόνιο ή φερμιόνιο, ανάλογα με τους προσανατολισμούς των σπιν των συστατικών του. Έτσι το άτομο του Η είναι φερμιόνιο (σπιν 1/2), ενώ το άτομο του He είναι μποζόνιο (σπιν 0).

Η απογερευτική αρχή του Pauli ορίζει ότι δεν είναι δυνατόν να έχουμε δυο φερμιόνια του ίδιου συστήματος στην ίδια ακριβώς κατάσταση. Για τα μποζόνια δεν υπάρχει τέτοιος περιορισμός. Σε θερμοκρασία 0, όλα τα μποζόνια βρίσκονται στη κατάσταση χαμηλότερης ενέργειας. Αυτό λέγεται συμπύκνωση Bose-Einstein. Αντίθετα, τα φερμιόνια για Τ=0 καταλαμβάνουν μια κατάσταση το καθένα μέχρι να φτάσουμε στην ψηλότερη, η οποία λέγεται ενέργεια Fermi. Για ηλεκτρόνια υπάρχουν συνήθως δυο καταστάσεις ίσης ενέργειας για κβαντικό αριθμό προβολής του σπιν m_s=1/2 και m_s=-1/2, και για αυτό στη Χημεία συνήθως αγνοούμε το σπιν και θεωρούμε δυο ηλεκτρόνια σε κάθε κατάσταση.

Αν η θερμοκρασία δεν είναι μηδέν, ο μέσος αριθμός σωματιδίων σε μια κατάσταση, n(ε), δίνεται από τη σχέση n(ε)=1/(exp(β(ε-μ))+1) για τα φερμιόνια (κατανομή Fermi-Dirac) και από την n(ε)=1/(exp(β(ε-μ))-1) για τα μποζόνια (κατανομή Bose-Einstein). Στους τύπους αυτούς ε είναι η ενέργεια της εν λόγω κατάστασης, μ το χημικό δυναμικό και β=1/kT. Εν γένει αν τα σωματίδια που μελετάμε δεν έχουν σταθερό αριθμό αλλά μπορούν να δημιουργούνται και να καταστρέφονται χωρίς ενεργειακό κόστος (όπως τα φωνόνια), τότε θα είναι μ=0. Αλλιώς το χημικό δυναμικό υπολογίζεται από τη σχέση ∫n(ε)ρ(ε)dε=N, όπου ρ(ε) είναι η πυκνότητα καταστάσεων και Ν ο αριθμός των σωματιδίων (για ηλεκτρόνια είναι Ν/2, αφού είναι δυο σε κάθε κατάσταση).