Πανεπιστημιο Κρητης
Τμημα Επιστημης και Τεχνολογιας Υλικων

Φυσική Στερεάς Κατάστασης: Εισαγωγή (ETY305)

Ημερολόγιο μαθήματος

Ημερομηνία	Περίληψη μαθήματος
21/9/10	Εκτιμήσεις τάξης μεγέθους Οι εκτιμήσεις τάξης μεγέθους είναι πολύ χρήσιμες τόσο για τον σχεδιασμό νέων υλικών όσο και για να μπορούμε να απορρίψουμε παράλογα αποτελέσματα από ένα λανθασμένο πείραμα ή υπολογισμό. Τέτοιες εκτιμήσεις μπορούν να γίνουν με τρεις τρόπους: Εμπειρικά: Με βάση την εμπειρία μας, ξέρουμε τι τιμές να περιμένουμε για διάφορες ποσότητες. Πχ. ξέρουμε ότι τα συνήθη υλικά έχουν πυκνότητες στην περιοχή από 0.2 g/cc (φελός) έως 23 g/cc (Όσμιο). Ημιεμπειρικά: Χρησιμοποιούμε κάποια απλά αποτελέσματα από την εμπειρία μας, και κάποιους τύπους για να καταλήξουμε στο ζητούμενο αποτέλεσμα. πχ. ακόμα κι αν δεν θυμόμαστε νούμερα για πυκνότητες, ξέρουμε ότι τα ατομικά βάρη των στοιχείων είναι περίπου A=10 έως 100 gr/mol, και οι αποστάσεις μεταξύ τους είναι d = 1 έως 3 Å. Άρα μια τυπική τιμή της πυκνότητας ενός μετάλλου θα είναι m/V=(Α/Ν_A)/(4/3π(d/2)³) δηλ. γύρω στα 10 g/cc. Από πρώτες αρχές: Χρησιμοποιούμε μόνο θεμελιώδεις φυσικούς νόμους (πχ εξίσωση Schrodinger, νόμοι θερμοδυναμικής) και θεμελιώδεις φυσικές σταθερές. Για το παράδειγμα της πυκνότητας, χρειαζόμαστε μια εκτίμηση της μάζας του πυρήνα και του μεγέθους του ατόμου. Η μάζα του πυρήνα μπορεί να εκτιμηθεί αν σκεφτούμε ότι τα νετρόνια και πρωτόνια του πυρήνα έλκονται με ισχυρές πυρηνικές δυνάμεις, οι οποίες είναι δυνάμεις επαφής. Άρα στον πιο σταθερό πυρήνα όλα τα νουκλεόνια θα πρέπει να είναι γειτονικά. Η πιο σταθερή τέτοια διάταξη αποτελείται από μια σφαίρα και 12 όμοιες σφαίρες γύρω της, άρα συνολική μάζα 13m_p. Στην πραγματικότητα οι αλληλεπιδράσεις είναι κάπως πιο περίπλοκες, και ο πιο σταθερός πυρήνας είναι ο Fe με 56 νουκλεόνια, αλλά όπως βλέπετε δεν πέσαμε και πολύ έξω! Άρα εκτιμούμε ότι μια τυπική μάζα ατόμου 10m_p. H ακτίνα του ατόμου θα προκύψει από την κυματοσυνάρτηση των ηλεκτρονίων του, η οποία θα προκύψει ως λύση της εξίσωσης Schrodinger. Επομένως η ακτίνα θα εξαρτάται από τις ποσότητες h, m, e, ε₀. Με διαστατική ανάλυση βρίσκουμε ότι η τυπική τιμή της ακτίνας είναι h²ε₀/me², περίπου 1 Å. Συνδυάζοντας τα παραπάνω, βρίσκουμε ότι η τάξη μεγέθους της πυκνότητας ενός μετάλλου είναι 10 g/cc. Η μέθοδος της διαστατικής ανάλυσης Οι διαστάσεις (μονάδες) ενός φυσικού μεγέθους γράφονται με μοναδικό τρόπο σαν συνάρτηση των θεμελιωδών διαστάσεων. Στο σύστημα SI, αυτές είναι πέντε: το μήκος (L), η μάζα (Μ), o χρόνος (T), το ηλεκτρικό φορτίο (Q) και η θερμοκρασία (T). Διαστατικά ανεξάρτητα μεγέθη είναι εκείνα των οποίων οι μονάδες δεν συνδέονται. Πχ η ενέργεια, ταχύτητα και μάζα δεν είναι ανεξάρτητα, αφού οι μονάδες [Ε]=[m][u]² (πχ στο SI J=kg (m/s)²). Αντίθετα, τα μεγέθη ενέργεια, ταχύτητα και μήκος είναι διαστατικά ανεξάρτητα. Θεώρημα: Από διαστατικά ανεξάρτητα φυσικά μεγέθη υπάρχει ένας και μόνο συνδυασμός που έχει δεδομένες μονάδες. Δείτε το άρθρο της wikipedia και τη σελ. 15 του βιβλίου "Κβαντομηχανική Ι" του Σ. Τραχανά. Ύλη και τρόπος βαθμολογίας του μαθήματος.
23/09/10	Εφαρμογές της διαστατικής ανάλυσης. Εξαγωγή της ακτίνας του Bohr που δίνει την τυπική απόσταση σε άτομα, μόρια και στερεά. Το ατομικό σύστημα μονάδων. Ασκήσεις διαστατικής ανάλυσης. Άσκηση 1: Χρησιμοποιήστε διαστατική ανάλυση για να εκτιμήσετε την τάξη μεγέθους των ταχυτήτων ηλεκτρονίων σε τυπικό στερεό.
28/09/10	(Κεφ. 2) Τι καθορίζει την πυκνότητα των στερεών: η ηλεκτροστατική έλξη μεταξύ ατόμων και η κβαντική αντίσταση στον εντοπισμό των ηλεκτρονίων. Η ολική ενέργεια του στερεού σαν συνάρτηση της απόστασης. Ιδιότητες που καθορίζουν πόσο πυκνό είναι ένα στερεό: ρ_M, n_i, V_i, r_i, n, V_e, r_s, d. Τυπικές τιμές τους και τρόποι υπολογισμού του καθενός από καθένα από τα άλλα.
30/09/10	(Κεφ. 2) Το μοντέλο ισότροπου στερεού ή μοντέλο Jellium. Το μέτρο ελαστικότητας και εφαρμογές: πώς αλλάζει η πυκνότητα του στερεού με την πίεση. Άσκηση 2: Άσκηση 1 κεφ. 2. Μικρή παράταση στον χρόνο παράδοσης ασκήσεων: η προθεσμία γίνεται Παρασκευή βράδυ.
5/10/10	Διαγώνισμα 1 (Κεφ. 3) Η κυματοσυνάρτηση ηλεκτρονίων στο μοντέλο Jellium. Επιτρεπτές τιμές του κυματανύσματος και του κυματάριθμου.
7/10/10	Οι βαθμοί των ασκήσεων για το σπίτι ανακοινώνονται εδώ. (Κεφ. 3) Υπολογισμός του κυματάριθμου και της ενέργειας Fermi, καθώς και της πυκνότητας καταστάσεων για ισότροπο στερεό. Άσκηση 3: Υπολογίστε τις ποσότητες r_s, n, k_F, v_F, E_F, T_F και ρ_AF=ρ(Ε_F)/Ν_i για το Mg.
12/10/10	Μέση κινητική ενέργεια ηλεκτρονίων, υπολογισμός της παραμέτρου α του μοντέλου Jellium. (Κεφ. 4) Τάξη μεγέθους της μέσης μετατόπισης για την κβαντική και την θερμική κίνηση των ιόντων. Χαρακτηριστικά κυμάτων: μήκος κύματος, κυματάριθμος, κυματάνυσμα, περίοδος, συχνότητα, εγκάρσια και διαμήκη κύματα.
14/10/10	Επιτρεπτές τιμές του κυματανύσματος ιοντικών ιδιοταλαντώσεων, κυματάριθμος Debye και ταχύτητα του ήχου. Φωνόνια και ιδιοταλαντώσεις. Άσκηση 4: Aσκήσεις 1 και 2 κεφ. 4.
19/10/10	Πυκνότητα καταστάσεων φωνονίων. Το μοντέλο Debye και η μέση ταχύτητα του ήχου c=fc₀ με f~0.7. Κατανομές Fermi-Dirac και Bose-Einstein. Τα φωνόνια είναι μποζόνια με χημικό δυναμικό μ=0. Διαβάστε το αρχείο.
21/10/10	Tο χημικό δυναμικό υπολογίζεται από τη σχέση 2∫n(ε)ρ(ε)dε=N, όπου ρ(ε) είναι η πυκνότητα καταστάσεων και Ν ο αριθμός των σωματιδίων (για ηλεκτρόνια πολλαπλασιάζουμε επί 2, αφού είναι δυο σε κάθε κατάσταση.). Η μέση ενέργεια δίνεται από την U=∫Eρ(ε)dε όπου Ε=εn(ε) για ηλεκτρόνια και Ε=ε(n+1/2) για ιόντα. Η κίνηση μηδενικού σημείου. Άσκηση: ηλεκτρόνια και φωνόνια σε 2D: το χημικό δυναμικό και η ταχύτητα του ήχου στο μοντέλο Debye. Άσκηση 5: Το περσινό φυλλάδιο 5. Στο επόμενο μάθημα θα γράψουμε το 2ο διαγώνισμα. Μην ξεχάσετε ταυτότητα και κομπιουτεράκι. Θα ξεκινήσουμε 9 ακριβώς.
26/10/10	Διαγώνισμα 2 (Κεφ 5) H έννοια της θερμοχωρητικότητας. Εκτίμηση της θερμοχωρητικότητας λόγω ηλεκτρονίων και λόγω φωνονίων για ψηλή και χαμηλή θερμοκρασία. Έκτακτο μάθημα αύριο 12-2 στο Α3
27/10/10	Υπολογισμός της θερμοχωρητικότητας από την πυκνότητα καταστάσεων. Το μοντέλο Einstein. Συντελεστής θερμικής διστολής: τάξη μεγέθους, σχέση για ψηλές θερμοκρασίες (α=4n_ik_B/B). Άσκηση 6: Ασκήσεις 5 (είτε το 1D ή το 2D) και 12 (είτε Cu ή Fe) κεφ. 5. Κάντε μόνο το ένα από τα δυο ερωτήματα κάθε άσκησης (όποιο θέλετε).
4/11/10	(Κεφ. 6) Ηλεκτρομαγνητικά πεδία στην ύλη. Οι βασικές ηλεκτροστατικές, ηλεκτρονικές και οπτικές ιδιότητες (διηλεκτρική σταθερά, αγωγιμότητα, δείκτης διάθλασης) και πώς αυτές σχετίζονται: ε=ε₀+iσ/ω, n+iκ=√(ε/ε0). Διηλεκτρική συνάρτηση στο μοντέλο ελευθέρων ηλεκτρονίων. Υπολογισμός της διηλεκτρικής συνάρτησης ε(ω) για μεγάλα μήκη κύματος (k→0). Ο τύπος του Drude για την αγωγιμότητα. Άσκηση 7: Λύστε το προπέρσινο διαγώνισμα 8.
16/11/10	Διαγώνισμα 3 Ταλαντώσεις πλάσματος. Διαφάνεια μετάλλων στο υπεριώδες. Πλασμόνια. Δείτε τις ανακοινώσεις
18/11/10	Η διηλεκτρική συνάρτηση ε(k) για ω→0 και το φαινόμενο της θωράκισης. Υπολογισμός του μήκους θωράκισης. Ταλαντώσεις πλάσματος. (Κεφ. 7) Απλά μέταλλα σε μαγνητικό πεδίο. Ο τανυστής ειδικής αντίστασης σε ομοιογενές υλικό. Φαινόμενο Hall. Υπολογισμός του συντελεστή Hall στο μοντέλο Jellium. Άσκηση 8: Ασκήσεις 4 και 5 κεφαλαίου 6 (πάρτε Cu και στις δύο ασκήσεις).
23/11/10	(Κεφ. 7.2) Υπολογισμός του συντελεστή Hall στο μοντέλο Jellium. Οι τανυστές της αγωγιμότητας και της διηλεκτρικής σταθεράς. Το Θεώρημα Bloch. Αντίσταση είναι ανάλογη της θερμοκρασίας (και πρόχειρη εκτίμηση).
24/11/10	(Κεφ. 13.1) Ορισμοί και θεωρήματα για κρυσταλλικά πλέγματα. Διανύσματα πλέγματος, διανύσματα βάσης, συγκέντρωση ατόμων, αριθμός και απόσταση γειτόνων και άλλες ιδιότητες συνήθων κρυσταλλικών δομών.
25/11/10	(Κεφ. 13.1) Σύνθετες κρυσταλλικές δομές: εύρεση διανυσμάτων πλέγματος και θέσεων ατόμων βάσης. Παράδειγμα: η δομή του βουρτσίτη. Άσκηση: να βρεθούν οι σχέσεις των πλεγματικών σταθερών και της πλεγματικής παραμέτρου ώστε κάθε άτομο να έχει τέλεια τετραεδρική δομή (ιδανικός βουρτσίτης). Οι δομές ZnS, διαμαντιού Και hcp. Άσκηση 9: Λύστε τις περσινές ασκήσεις 10.
30/11/10	Διαγώνισμα 4 (Κεφ. 13.3) Αντίστροφο πλέγμα και ζώνη Brillouin.
1/12/10	Παραδείγματα αντιστρόφων πλεγμάτων: 1D, sc, fcc, bcc. (Κεφ. 9.1) Η μέθοδος LCAO. Μελέτη με LCAO απλού μονοδιάστατου στερεού.
2/12/10	(Κεφ. 9.1 και κεφ. 14 από "Κβαντομηχανική" του Σ. Τραχανά) Μελέτη με LCAO απλού μονοδιάστατου στερεού. Οι παράμετροι ε και V₂, πρόσημο και απλές εκτιμήσεις. Ενεργειακές ζώνες και ενεργός μάζα. Διάκριση μεταξύ μετάλλων και μονωτών. Πυκνότητα καταστάσεων, σύγκριση LCAO και μοντέλου Jellium. Άσκηση 10 (παράδοση: 17/12/10): (1) Βρείτε και περιγράψτε το αντίστροφο πλέγμα του (α) hcp (β) hex (απλού εξαγωνικού) (γ) διαμαντιού. Άσκηση 11 (παράδοση: 17/12/10): Το 4ο θέμα από την περσινή εξέταση για νανοκαλώδιο Ag.
14/12/10	(Κεφ. 9.2 και άλλα) Δυο γενικεύσεις της θεωρίας LCAO: τριδιάστατο πλέγμα Bravais με ένα τροχιακό s ανά άτομο. Ζώνη Σθένους, Ζώνη Αγωγιμότητας, χάσμα. (κεφ. 1) Κίνηση ιόντων σε περιοδικό στερεό σε μια διάσταση. Σχέση συχνότητας-κυματάριθμου, συμπεριφορά για μικρά q και σύγκριση με μοντέλο Jellium.
16/12/10	Πυκνότητα ταλαντωτικών καταστάσεων σε περιοδικό μονοδιάστατο σύστημα και σύγκριση με μοντέλο Debye. Ασκήσεις. Άσκηση 12 (παράδοση: το αργότερο 11/1/11 το πρωι, στην εξέταση του τελευταίου διαγωνίσματος): (1) Το 3ο θέμα από την εξέταση Σεπ. 2007. (2) την άσκηση 2 από το κεφ. 1.
11/1/11	Διαγώνισμα 5
13/1/11	Επανάληψη
25/1/11	Τελική εξέταση