Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών Πανεπιστημίου Κρήτης

ΕΤΥ 500: Συμμετρια στην Επιστημη Υλικων

Για το εαρινό εξάμηνο του 2021 όλες οι πληροφορίες του μαθήματος θα βρίσκονται στο https://teleclass.materials.uoc.gr/courses/SEM6105/. Η παρούσα ιστοσελίδα ΔΕΝ θα ανανεώνεται.

Το μάθημα αυτό είναι προχωρημένο προπτυχιακό και μεταπτυχιακό μάθημα, με σκοπό τη γνωριμία με τα μαθηματικά εργαλεία που απαιτούνται για τη θεωρητική μελέτη αλλά και το χαρακτηρισμό υλικών.

Το μάθημα δίνεται ως αυτομελέτη με υπεύθυνους τους Ι. Ρεμεδιάκη και Κ. Στούμπο, και για να το περάσει κάποιος/α πρέπει να παραδώσει λυμένες περίπου 100 ασκήσεις και να κάνει μια παρουσίαση στο τέλος. Έχει προαπαιτούμενα τα 116 και 305 για τους προπτυχιακούς φοιτητές.

Σκοπός του μαθήματος είναι η εξοικείωση με τη μαθηματική θεμελίωση της επιστήμης των υλικών, με χρήση των συμμετριών που υπάρχουν σε κάθε στερεό. Αφού αναπτυχθούν τα βασικά μαθηματικά εργαλεία, μελετώνται φαινόμενα των υλικών όπου η συμμετρία παίζει καθοριστικό ρόλο, όπως τεχνικές χαρακτηρισμού με περίθλαση, πιεζοηλεκτρισμός, και μηχανικές ιδιότητες των υλικών.

Περιεχόμενο μαθήματος

1. Θεωρία ομάδων: Ομάδες συμμετρίας σημείου. Συμμετρία μορίων. Αναπαραστάσεις και χαρακτήρες.
2. Εφαρμογές ομάδων σημείου: Ιδιοταλαντώσεις μορίων, φασματοσκοπία υπερύθρου και Raman, μοριακά τροχιακά.
3. Ομάδες χώρου, κρυσταλλικές συμμετρίες. Εφαρμογές: Wyckoff positions, περίθλαση από κρυστάλλους. ιδιότητες κυματοσυναρτήσεων σε στερεά.
4. Κρυσταλλογραφία: μεθοδοδολογία επίλυσης κρυσταλλικών δομών από δεδομένα περίθλασης ακτινών-Χ σκόνης και μονοκρυστάλλων στο εργαστήριο.
5. Συμμετρία και απόκριση. Μηχανικές ιδιότητες. Τανυστές τάσης και παραμόρφωσης. Ελαστικές σταθερές. Ηλεκτρικές ιδιότητες. Θερμοηλεκτρικά και πιεζοηλεκτρικά φαινόμενα.

Ημερολόγιο μαθήματος 2020

1. Ομάδες, πράξεις συμμετρίας, πίνακες πολλαπλασιασμού, υποομάδες.
   • Θεωρία: Cotton, 2.1-2.3 και 3.1-3.7. Δείτε επίσης Σιγάλας-Αντώνογλου-Χαριστός κεφ 3 και 4, Nowick 3-1, Βέργαδος 1.1-1.4.
   • Ασκήσεις (παράδοση 21/2):
     1. Cotton 2.3
     2. Cotton 2.4
     3. Cotton 2.5
     4. Ορίζουμε σ_x=ανάκλαση ως προς το επίπεδο yz, σ_y=ανάκλαση ως προς το επίπεδο xz και C_2z=περιστροφή κατά π γύρω από τον άξονα z. Αποδείξτε ότι σ_yσ_x= C_2z. Δείξτε συγκεκριμένα ότι οι πράξεις σ_yσ_x και C_2z δίνουν ίδιο αποτέλεσμα για σημείο (α,β,γ) του χώρου, για κάθε τιμή των α,β,γ.
     5. Γενικεύστε το προηγούμενο αποτέλεσμα ως εξής: Έστω δυο επίπεδα, 1 και 2, που τέμνονται στην ευθεία n και σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία φ/2. Τότε σ₁σ₂= C, όπου C_φ είναι περιστροφή κατά φ γύρω από τον άξονα n. Βρείτε και το σ₂σ₁.
     6. Σχεδιάστε το μόριο της αμμωνίας σε κάτοψη, και ονομάστε Α, Β, Γ τα τρία υδρογόνα. Δείξτε πώς μετασχηματίζεται το μόριο όταν εφαρμόζονται οι πράξεις συμμετρίας της ομάδας C₃ με μέλη τα Ε, C₃, C₃². Με βάση το σχήμα, κατασκευάστε τον πίνακα πολλαπλασιασμού της ομάδας C₃.
     7. Θεωρήστε την ομάδα C_3v η οποία περιέχει την C₃ και τρία επιπλέον επίπεδο συμμετρίας σ_v, σ_v', σ_v''. Χρησιμοποιώντας κατάλληλο σχήμα του μορίου, κατασκευάστε τον πίνακα πολλαπλασιασμού της ομάδας C_3v.
     8. Θεωρήστε την ομάδα C_3h η οποία περιέχει την C₃ και επιπλέον επίπεδο συμμετρίας σ_h. Παράδειγμα μορίου με αυτή την συμετρία είναι το Β(ΟΗ)₃. Χρησιμοποιώντας κατάλληλο σχήμα του μορίου της αμμωνίας, βρείτε το γινόμενο της σ_h με τα στοιχεία της ομάδας C₃, ώστε να προσδιορίσετε και τα υπόλοιπα στοιχεία της ομάδας. Κατασκευάστε τον πίνακα πολλαπλασιασμού της C_3h.
     9. Θεωρήστε την ομάδα D_3h η οποία περιέχει την C_3v και επιπλέον επίπεδο συμμετρίας σ_h. Χρησιμοποιώντας κατάλληλο σχήμα του μορίου, βρείτε το γινόμενο της σ_h με τα στοιχεία της ομάδας C₃, ώστε να προσδιορίσετε και τα υπόλοιπα στοιχεία της ομάδας. Παράδειγμα μορίου με αυτή την συμετρία είναι το αιθάνιο στην δεύτερη διαμόρφωσή του (eclipsed ethane).
     10. Θεωρήστε την ομάδα D_3d η οποία περιέχει την C₃ και επιπλέον την αντιστροφή, i. Παράδειγμα μορίου με αυτή την συμετρία είναι το αιθάνιο. Χρησιμοποιώντας κατάλληλο σχήμα του μορίου, βρείτε το γινόμενο της i με τα στοιχεία της ομάδας C₃, ώστε να προσδιορίσετε και τα υπόλοιπα στοιχεία της ομάδας.
2. Θεωρία ομάδων Ι: classes, point groups.
   • Θεωρία: Cotton 2.4, 3.13-3.15, 4.1-4.2, Nowick 3-2, Βέργαδος 1.6-1.7, 2.1-2.4
   • Ασκήσεις (παράδοση 28/2):
     • Να βρεθούν όλες οι δυνατές υποομάδες της C_4v.
     • Cotton A3.1, A3.2, B3.2, B3.5, B3.9, C10, C15, D12, E3,4.
3. Θεωρία ομάδων ΙΙ: Αναγωγή αναπαραστάσεων και μη αναγωγίσιμες αναπαραστάσεις, πίνακες χαρακτήρων.
   • Θεωρία: Cotton κεφ. 4, Dresselhaus κεφ. 3
   • Ασκήσεις (παράδοση 22/3):
     • Cotton 4.1, 4.2, 4.3, 4.5, 4.6, 4.7.
     • Dresselhaus 3.2, 3.3, 3.4.
4. Θεωρία ομάδων ΙΙI: μετασχηματισμοί μεγεθών, συντεταγμένες συμμετρίας.
   • Θεωρία: Cotton κεφ. 4, Dresselhaus κεφ. 4
   • Ασκήσεις (παράδοση 27/3):
     • Cotton 4.4, 4.8.
     • Dresselhaus 4.1-4.7
5. Εφαρμογές στην κβαντομηχανική: στροφορμή, μέθοδος LCAO, μοριακά τροχιακά.
   • Θεωρία: Cotton κεφ. 5 και 6
   • Ασκήσεις (παράδοση 10/4):
     • Cotton όλες κεφ 5 και κεφ 6
6. Ηλεκτρονική δομή περίπλοκων μορίων και συμμετρία.
   • Θεωρία: Cotton κεφ. 7 και 8
   • Ασκήσεις (παράδοση 24/4):
     • Cotton 7.1-7.4, 8.1-8.6
7. Ταλαντώσεις.
   • Θεωρία: Jacobs ch. 9, Cotton ch. 9
   • Ασκήσεις (παράδοση 30/4):
     • Jacobs όλες του κεφ. 9
8. Ομάδες χώρου.
   • Θεωρία: Jacobs ch. 16
   • Ασκήσεις (παράδοση 8/5):
     • Eπιλέξτε από 8 έως 10 ασκήσεις από το κεφ. 16 του Jacobs.
9. Ηλεκτρονική δομή στερεών και συμμετρία.
   • Θεωρία: Jacobs ch. 17
   • Ασκήσεις (παράδοση 15/5):
     • Jacobs όλες του κεφ. 17
10. Ταλαντώσεις σε στερεά και συμμετρία.
    • Θεωρία: Jacobs ch. 18
    • Ασκήσεις (παράδοση 22/5):
      • Jacobs όλες του κεφ. 18

Χρήσιμες ιστοσελίδες

1. Group Explorer
2. Group Theory from LibreTexts

Bιβλιογραφία

1. F. A. Cotton, Chemical Applications Of Group Theory, 3rd Ed., Wiley, 1990.
2. Ι. Δ. Βέργαδος, Θεωρία Ομάδων, τόμος Α, κεφ. 1-4, Εκδόσεις Συμεών, Αθηνα 1991.
3. P. Atkins and R. Friedman, Molecular Quantum Mechanics, 4th_Edition 2005
4. A. S. Nowick, Crystal properties via group theory, Cambridge University Press 1995
5. R. E. Newnham, Properties of Materials: Anisotropy|Symmetry|Structure, Oxford University Press 2005.
6. M. S. Dresselhaus, S. Dresselhaus, A. Jorio, Group Theory, Springer, 2008.
7. P. W. M. Jacobs, Group theory with applications in chemical physics, Cambridge University Press, Cambridge, 2005.
8. M. A. Armstrong, Ομάδες και συμμετρία, Leader Books, Αθήνα 2002.
9. P. W. Atkins, Physical Chemistry, κεφ. 15 ("Molecular Symmetry"), Oxford University Press, Oxford, 6th edition, 1999.
10. L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Theory of Elasticity, κεφ. 1, Butterworth-Heinemann, Oxford 1986.
11. Richard C. Powell, Symmetry, Group Theory, and the Physical Properties of Crystals, Springer 2010.
12. Μοριακή συμμετρία και θεωρία ομάδων, Σιγάλας Μιχαήλ, Αντώνογλου Λεμονιά, Χαριστός Νικόλας, ΑΠΘ 2015.

Για το εαρινό εξάμηνο του 2021 όλες οι πληροφορίες του μαθήματος θα βρίσκονται στο https://teleclass.materials.uoc.gr/courses/SEM6105/. Η παρούσα ιστοσελίδα ΔΕΝ θα ανανεώνεται.